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各位观众老爷好，宣传经理妹子琪琪说写点啥吧，写啥呢，想了想，让RM这场盛大狂欢一路跑起来的麦轮简直功不可没。
曾记得在队里不小心踩到地上一根导线，于是整条腿斜向前45°劈了个叉，那时候心想这不就是麦轮啊我去，所以麦轮到底是什么原理呢，程序上炒鸡简单的四个运动方程是怎么来的？百度的东西实在高深莫测不明觉厉，好在谷歌上看到了一篇过程详细逻辑严密的文章，寥寥几页却清晰明朗深入浅出可谓十分接地气，无论你属于机械、电控、视觉、宣传经理、项管还是扫地僧，稍微有点线代基础就能看懂，遂翻译过来跟大家分享一下，同时加了些补充说明（黑括号里的部分）方便理解。英语OK的朋友可以直接读原文（帖子底部有附件）。读完你完全可以按照同样的方法求解90°偏置的3麦轮小车的前后向运动学方程，而且是真真正正自己推导出来，对理解和控制全向小车还是很有帮助的。文章名叫Kinematic Analysis of Four-Wheel Mecanum Vehicle（4麦克纳姆轮载具的运动学分析），针对的正是常见的45°偏置的4麦轮组合，也是我们征战沙场的共同选择。原文没有来源出处，格式也甚是随性，唯一有的信息是Rev 05/31/10 ©Ehter （PDF文件名里有个编号100531）
好吧，让我们向这位叫以太的哥们致敬~也让我们向XJTU的宣传经理妹子琪琪致敬，毕竟她不提估计就没得写了...Orz
下面进入正题
后向（逆向）运动学方程：根据车身速度计算每个轮的转速。
前向（正向）运动学方程：给定每个轮的转速得到车身速度。
见下图，在俯视中定义坐标系，使原点到四个轮子的距离相等，X轴向前指，Y轴向左指。
用3x1矩阵 [Vx Vy ωv]’表示车身运动的速度矢量[V]，其中ωv以逆时针方向为正。
麦轮从图中左上角起，按逆时针顺序依次编号1,2,3,4。
(Xn,Yn)为第n个轮相对原点的坐标。各麦轮轮毂与X轴平行安装，r为轮毂半径，θn为麦轮n的接地辊子轴线与X轴间的夹角，以逆时针方向偏转为正。【就是辊子的偏置安装角，大小为45°】
令[Ω]=[ω1,ω2,ω3,ω4]’【定义每个轮子使车向前走的转向为其ω的正方向】
求解逆向运动学就是要找到一个4x3矩阵[R]使其满足：[Ω]=(1/r)[R][V] 方程1
如此，给定车身速度[V]就可计算出各轮转速[Ω]。
假设车身为刚体，那么车体的速度分量Vx、Vy就可以平移到每个麦轮的中心。
此外，由于车身还有旋转速度ωv，所以在每个麦轮的中心还有另外一组速度分量：
Vxrn=-Yn·ωv
Vyrn= Xn·ωv 方程2
【这里原文没图，补一个清楚点，见下方手绘哈哈。
注意用来分析的麦轮n可任取一个，因为只要规定好X、Y轴及转动的正方向，公式里的符号就始终一致，图中取的是右上轮】
上述两组分量叠加后就得到了麦轮n的合速度矢量Vn（即麦轮n的实际速度矢量，方程中为Vxn、Vyn两个分量）：
Vxn=Vx+Vxrn
Vyn=Vy+Vyrn 方程3
然后将方程2代入方程3得到： Vxn =Vx -Yn·ωv ， Vyn =Vy +Xn·ωv
【到这我们求出了车身速度[V]对应到每个麦轮上的速度Vn，接下来只要找到轮转速ωn与Vn之间的关系就构建完毕了。下图为麦轮n在某一时刻的速度矢量关系。
看过下图后再唐僧一遍，Vn这个合速度矢量就是麦轮n当前的实际运动速度。可以看出它是由麦轮n的轮毂中心速度Aî=ωn·r和接地自由辊子的中心速度Bû合成而来的。
另外，考虑î、û两个单位向量的线性组合，刚好构成XOY平面内的整个向量空间（当然实际上速度不可能无穷大的哈，但方向一定是全向的），这也就是麦轮能全向运动的原因。注意Bû始终是跟辊子轴垂直的，因为辊子一定是沿垂直其转轴的方向滚动，这就像Aî始终跟电机轴（平行于Y轴）垂直一样。】
于是车身速度和麦轮转速之间就可以联系起来了：
ωn·r = Vxn + Vyn·tan(θn) 方程4
【自由辊子的中心速度B是随速度矢量Vn变化的，不需要求，重要的是找到A与Vn的线性关系】
将前面准备好的Vxn、Vyn代入方程4得到：
ωn·r =(Vx -Yn·ωv) + (Vy+ Xn·ωv)·tan(θn)
把r移到等号右边：
ωn =(1/r) { (Vx -Yn·ωv) + (Vy+ Xn·ωv)·tan(θn) }
再整理一下：
ωn =(1/r) { (Vx + Vy tanθn + ( Xn·tanθn-Yn)ωv) }
当当当当，如此第n个麦轮的转速ωn 跟 车身速度Vx、Vy、ωv之间就建立了线性关系。
于是就得到要求的4x3矩阵[R]：
1 tan(θ1) X1 tan(θ1) – Y1
1 tan(θ2) X2 tan(θ2) – Y1
1 tan(θ3) X3 tan(θ3) – Y1
1 tan(θ4) X4 tan(θ4) – Y1
根据第一页对θn的定义，可以得到θ1、θ3为 -45°,θ2、θ4为 +45°。代入得到：
由于我们定义坐标系时原点到四个轮子的距离相等，即轮子是对称安装的，所以每个轮横、纵坐标的绝对值各自相等，令K=abs(Xn)+abs(Yn)，根据每个轮坐标所在象限的符号，矩阵可化简为：
将[R]代入方程1：[Ω]=(1/r)[R][V]，简单乘一下，就得到逆向运动学的线性方程组了。
【注意这里转速的单位是弧度/单位时间】
是不是熟悉的配方熟悉的味道，大家的车就是这么控制的吧~
求解正向运动学就是要找到一个3x4矩阵[R]使其满足：
[F][Ω](r)=[V]
这个问题通常无解，因为这个线性组合构成了一个超定方程（未知数大于方程数）。
它的物理意义是，如果给定四个轮子的转速，有可能引起轮子在地上摩擦（因各轮速度方向的冲突而打滑，比如前面两个轮子向后转，后面两个轮子向前转），这时车身是没有速度的。
不过，还是可以找到一个能通过最小二乘法来提供最优解的矩阵[F]。
首先从逆向运动学方程开始，
[Ω](r)=[R][V]
两边同时左乘[R]的转置得到：
[R]’[Ω] (r)=[R]’[R][V]
两边同时左乘[R]’[R]的逆得到：
( ([R]’[R])-1 ) [R]’ [Ω] (r) = ( ([R]’[R])-1) ( [R]’[R] ) [V]
右侧化简为[V]得到:
( ([R]’[R])-1 ) [R]’ [Ω] (r) = [V]
由此得到[F]:
[F]= ( ([R]’[R])-1 ) [R]’
使用逆向运动学中化简完的[R]矩阵，很容易求出[F]：
【能读到这的各位肯定都会了，整个正向方程就不赘述了。简单举个典型运动的例子：
令轮毂半径r为1，只给1号轮和3号轮向前转动的速度+1，则[Ω]=[ 1 0 1 0 ]’
也就是各取1倍的[F]第一列和第三列相加，得到 [V]=[ 1/2 -1/2 0 ]’
由此可以看出，当只有左前轮和右后轮向前转时，车身往右前方行驶，前向速度1/2，右向速度1/2，自转速度为0，与我们实际控制结果吻合（当控制车向右前方行驶时，可以看到2、4号轮是不转的。）读者也可以自行代入其他转速进行观察和验证。】
【结尾声明】
本文欢迎转载，只要你觉得对别人有帮助。
主体内容翻译自谷歌搜索到的PDF文章 《Kinematic Analysis of Four-Wheel Mecanum Vehicle》
文章没有来源出处等信息，唯一标注是Rev 05/31/10 ©Ehter（PDF文件名里有个编号100531） ，请记得向Ether致敬~
fbk123 发表于 2017-7-31 18:45
大赞！！！！！！
:o好厉害
，优秀的同学
是不是时间太久了图片炸了jack1234 发表于 2017-5-25 10:19
不错不错，可以好好的看看啦
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