雷达无线电基础知识学习资料（更新中）

学习路线

理解无线电、采样和 IQ 数据。
打开录波，观察时域与频谱。
理解频率偏移、信道选择和滤波。
学习 FM 鉴频，把 IQ 转成与频偏相关的波形。
理解符号、比特和符号定时同步。
找到前导码，把连续比特流切成空口包。
重组数据，验证 CRC。
按通信协议解析坐标、血量等字段。

解调负责把无线电变成比特；解包负责把比特变成有意义的数据。

开始前最好具备的基础

知识	最低需要掌握什么	用在哪里
Python	变量、条件、循环、函数、导入库、读取文件	看懂和运行教学示例
NumPy	数组、切片、逐元素运算、数据类型	处理大量 IQ 采样点
三角函数	正弦、余弦、周期、频率、弧度	理解无线电波形
复数	实部、虚部、模、相位、共轭	理解 IQ 和鉴频
基本单位	Hz、kHz、MHz，秒、采样点、字节	正确理解采集参数

可以按照这个顺序准备：

Python 基础＋NumPy 数组
正弦波＋复数与 IQ
采样＋频谱＋滤波
鉴频＋符号同步
二进制＋帧结构＋CRC＋业务字段

所以无线信号是什么

一个简单的正弦信号，可以用幅度、频率和初始相位描述。真实接收信号还包含调制、噪声、干扰和信道影响。
[Hz] - 正弦信号的频率

[dB] - 噪音的幅度

IEEE对“无线电”的定义就是“无线发送或接收电磁辐射以传递信息的技术”。因此，SDR处理的对象，正是天线所捕获或即将发射的电磁波信号。

从最简化的角度看，一个SDR接收机可以被理解为：

天线（将电磁波转换为电压）→ 模数转换器（ADC，对电压进行高速采样）

这个定义点明了电磁波是SDR系统的物理输入：从电磁波到比特，再回到电磁波。

无线电是怎么工作的

接收路径：

天线捕获空间中的电磁波，并将其转换为微弱的模拟电信号（电压）。
模拟前端（可选）对信号进行放大、滤波，并可能通过混频将其下变频到中频（IF）。
ADC（模数转换器）将模拟信号数字化，变成一串离散的数字样本。
数字处理单元（处理器/FPGA）运行软件，对这些数字样本进行解调、解码等处理，最终恢复出原始信息（比特流）。

发射路径：

软件生成承载信息的数字信号。
DAC（数模转换器）将数字信号转换为模拟信号。
射频前端将模拟信号上变频、放大。
天线将电信号转换回电磁波辐射出去。

SDR

什么是 SDR 什么是DSP

SDR 软件定义无线电

Software-Defined Radio

一种无线电广播通信技术，它基于软件定义的无线通信协议而非通过硬连线实现。

DSP 数字信号处理

Digital Signal Processing

利用数字计算方法对信号进行处理。具体到我们的案例，就是针对射频（RF）信号的处理。

PySDR

《信号与系统》有基础当然是最好的, 在讲解完 DSP 的基础知识后，我们将转入 SDR 的主题，然而，DSP 和无线通信的概念会时刻穿插其中。

使用了 Python 的标准库 NumPy 来处理数组和进行高级数学计算，同时依赖于 Matplotlib 这一图形库来可视化信号、数组和复数。虽然 Python 的执行速度一般低于 C++，但其大部分数学函数已用 C/C++ 实现并进行了优化。此外，我们使用的 SDR API 其实是编写 C/C++ 函数/类的 Python 绑定。因此，对于拥有 MATLAB、Ruby 或 Perl 基础但对 Python 不熟悉的读者，只要掌握 Python 的语法就无需担心。

频率域

频率域 ( Frequency Domain，后文简称频域）

时间域（后文简称时域）

这一章将学习的: 傅里叶级数、傅里叶变换、傅里叶性质、快速傅里叶变换（FFT）、窗函数处理（Windowing）和时频谱/瀑布图（Spectrogram/Waterfall），同时还将学习 Python 实例分析。

为何偏爱在频域中观察信号，这里有两个示例信号，通过在时域和频域的展示：

image 2.png

如图: 在时域中 , 它们看起来就像是噪声，但在频域中我们就能观察到它们区别于众的特性 , 许多在时域中看起来相同普通的事物 , 其实有着不同的特征。我们通常所说的对信号进行“采样” , 都是在时域下进行的，因为我们不能够在频域中直接进行信号采样。需要做一些对应的处理 , 因为频域是非常值得关注的。

~~这个雷霆时域谁看得出来有什么特征~~

傅里叶级数

频域的基本概念是任何信号都可以通过一系列叠加的正弦波来表达。if 我们将一个信号解构为其组成的正弦波，我们称之为傅里叶级数。

傅里叶级数 是怎么说的呢：任何较为复杂的信号，只要满足一定条件，都可以分解为多个正弦波的叠加

示例1 - 正弦波组合

以下是一个由两个正弦波组合构成的信号示例：（这就是一个最典型的时域相加（线性叠加））

image 13.png

图里发生了什么

上面：低频正弦波、中间：较高频正弦波、下面：两者逐点相加的结果

可以写成：

x(t) = A1sin⁡(ω0t+φ1) + A2sin⁡(2ω0t+φ2)

image 18.png

所以合成波不再是单一正弦波，而是一个更复杂的周期波形。

示例2 - 锯齿波

图里又发生了什么

蓝色线：目标信号，这是一个锯齿波。它的特点是线性上升，然后瞬间跌落回起点，如此往复。
红色线：这是该锯齿波的基波（Fundamental wave），也就是频率最低的那个正弦波。
右上角的 n = 1：这是关键。它表示当前只取了傅里叶级数展开式中的第一项（第一谐波）。

红色曲线通过累加多达 10 个正弦波来近似模拟一个锯齿波。我们可以看到这并不是一个完美的重建：

由于锯齿波的锐利跳变，需要无限多的正弦波才能完全复原这个锯齿波。

然而有些信号需要更多的正弦波来表达，有些甚至需要无限多，尽管它们总是可以用有限数量的正弦波来近似表示。

如果只拿一个正弦波去凑锯齿波会怎样？当然不像。

图中红线是一个完美的平滑正弦，而蓝线到处是直线和突变。这只是“第一步”。

接下来会发生什么？

如果 n 继续增加：

n = 2：会在红线的基础上，叠加一个频率是 2 倍、幅度减半的反向正弦波。你会发现波形开始有一点点不对称了。
n = 3, 4, 5...：随着越来越多的高频正弦波被加进来，那个缓慢爬升的斜坡会变得越来越直，而那个垂直跌落的边缘，会像下面这一张方波图一样，出现剧烈的吉布斯现象（过冲和振铃），边缘变得非常陡峭。

为什么 n=1 的波形看起来是这样？

数学上，这个锯齿波的傅里叶级数展开（只取第一项）大概是这样的：

你看红线，它恰好在这个锯齿波的周期内，完成了一个完整的正弦起伏。

示例3 - 方波

这里是另一个信号被分解成一系列正弦波的例子：

用多个正弦波叠加（合成）来逼近一个方波的过程

图里又又发生了什么

蓝色线（方波）：这是我们的“目标信号”，它在高低电平之间瞬间跳变（在跳变点，斜率无穷大）。
红色线：这是用有限个正弦波（基波 + 若干奇次谐波）叠加出来的结果。它正在努力地“模仿”蓝线。

为什么红线会是这样？

根据傅里叶级数理论，一个理想的方波可以由无数个频率成整数倍的正弦波叠加而成：

image 9.png

（只包含奇次谐波，且幅度逐渐减小）

如果只叠加基波（1个正弦），红波会是一个平缓的圆滑曲线。
叠加了3次、5次、7次等更多高频正弦波后，曲线就会长出“棱角”，越来越像方波。图中红线就是叠加了有限项（比如前几项）的结果。

吉布斯现象

看红线在跨越蓝色方波的台阶时。当蓝线突然往上跳时，红线冲上去后并没有平齐，而是超出了蓝线的最高点，然后才落下来；当蓝线突然往下跳时，红线也会跌破蓝线的最低点，然后再反弹回来。

image 12.png 看这里

这就是振铃（Ringing）：

在跳变发生后的一小段距离内，红线就像弹簧一样，在水平线附近来回抖动几下，才慢慢趋于平稳。

吉布斯现象的一个极其重要的特征（很反直觉）：

你可能以为，如果我把叠加的正弦波数量（n）增加到一万、一百万项，这个“冒尖”的起伏应该会消失吧？不会的。

随着叠加的项数越来越多，那个“尖”的宽度会变得非常非常窄（越来越紧贴跳变边缘），但尖的最高点超出方波幅度的比例（大约9%）几乎保持不变。它永远无法完美重合直角。

为什么会产生吉布斯现象？

因为傅里叶级数是用无穷多个平滑的正弦波去叠加逼近一个“有棱角”的方波。

在这张图里，为了能画出来，我们只取了有限个正弦波（比如前几项或前十几项）。
这意味着我们突然“一刀切”切掉了所有高频成分。这在数学上叫做“带限（Band-limited）”。
频域突然截断，导致时域上产生了“滤波器拖尾”，在发生剧烈变化的地方（边沿），波形因为“反应不过来”而产生惯性过冲。

吉布斯现象可以消除吗？

这正是现实世界中的物理限制：任何真实的无线电设备（包括 SDR 的 ADC/DAC、天线、滤波器）都不可能拥有无限大的带宽。

你的系统只要存在一个频率上限（比如只能处理到 100MHz），在发射或接收那些带有突然跳变的数字方波信号时，物理上必然会产生这种过冲和振铃。

但实际上可以避开，如果这种尖峰过冲太大，在电路里可能会导致数字信号的误判（0 变成 1），或者烧毁功率放大器。

所以工程师在设计系统时，经常要加入“脉冲成型”（比如升余弦滤波器），把原来的方波边缘弄平滑，提前避开吉布斯现象。

示例 2与3 说明了什么

锯齿波：包含所有次谐波（基波、2次、3次、4次...），而且它的频谱衰减得更慢（幅度与 1/n1/n 成正比）。
方波：只包含奇次谐波（基波、3次、5次...）。

即这就是用软件/数学解构信号：

再复杂的波形（蓝），都可以由基础的正弦波（红）一步步叠加出来。这也是 SDR（软件定义无线电）中数字信号处理的核心思想：用数学去合成或解析一切无线电信号。

如何将信号分解成正弦波

正弦波（sine wave, 或称为 sinusoid）

其存在三个属性：

幅度（Amplitude）
频率（Frequency）
相位（Phase）

幅度表示波的“强度”，而频率则是指每秒钟时长内完整波形的数量。相位用于表示正弦波在时间上的移动，范围从 0 到 360 度 (或 0 到 ) ，但它必须相对于某物才有意义，比如两个频率相同的信号可能会相差 30 度的相位。

image 15.png

“信号”的本质 —— 一个函数

通常是在“时间”这个轴（即 x 轴）上来表示的。另外一个容易记忆的特性是周期，它是频率的倒数。正弦波的周期是波完成一个循环所需的时间，单位是秒。因此，频率的单位是 1/秒，或者赫兹（Hz）。

当我们将信号分解为一系列的正弦波时，每一个波都会有一定的幅度、相位和频率。每个正弦波的幅度将告诉我们原始信号中该频率的强度。先不用过多担心相位，其实你只需意识到和之间唯一的区别就是一个相位移动（时间位移）。

所以我们干的事情其实是用我们自己发的正弦波去cosplay需要传递的函数信息吉布斯现象就是你ooc了（cos翻车了）所以使用无线电传递信息啊，他是一款风味南通。希望读者可以坚守本心，不要变成图灵派了。

实际上，我们无需对实际的数学公式作深入的了解，比如和方程打交道，理解概念比解决傅里叶级数的实际方程更重要。但是如果你真的想完成雷达无线电的极意：推荐你开一个科学上网去参考Wolfram的简洁解释：

Fourier Series -- from Wolfram MathWorld

真能从数学层面上完全理解的话，说不定你真能完成雷达王朝呢。

最后，为什么“永远无法完美”？

就像图里展示的那样，无论你加多少正弦波（n增加到无穷大），那个过冲（9%的尖尖）永远都在。

因为完美的瞬间跳变（无限快的斜率），需要无限宽的频率（无限多的高频正弦波）。现实中的 SDR 不可能有无限的带宽，所以物理世界里，完美的方波是不存在的。

所以：无线电通信的本质，就是用系统最擅长发出的、平滑纯粹的正弦波（coser），去拼命模仿那些带有棱角、包含复杂信息的基带波形（原角色）。虽然因为带宽限制总会有一点点“穿帮（吉布斯现象）”，但只要穿帮得足够小，接收端依然能认出它传达的信息。

时间 - 频率对

我们已经确定信号可以表示为正弦波，它具有若干特性。

现在，我们将学习如何在频域中绘制信号。时域展示了信号随时间的变化，而频域显示了信号在哪些频率中占据了多少份额。在频谱图中，x 轴不再是时间而是频率。我们可以同时在时域和频域中绘制一个给定的信号。

e.g 来一个简单的例子

下面是一个频率为 f 的正弦波，在时域和频域中的样子：

时域图应该看起来非常熟悉，它是一个振荡函数。不用担心它在周期中的启动点或持续的时间长短。关键点是信号只有一个 单一频率 ，这也是为什么我们在频谱图中看到一个单一的尖峰。正弦波在哪个频率上振荡，在频谱图中就会在哪个位置看到尖峰。数学上对这样的尖峰的专业术语叫做“冲激（Impulse signal）”。

e.g 来看第二个例子：一次冲激

那么如果我们在时域图中有一个冲激会怎样呢？试想录音中有人拍手或者用锤子钉钉子的声音。这时，时频对应关系就不那么直观了。

如图所见，在时域中的冲激在频域中却是扁平的，也就是说它含有几乎每一个频率。没有理论上完美的冲激，因为这意味着它必须在时域中无限短。就像正弦波一样，冲激在时域中发生的位置并不重要。

这里只需要重点理解：时域中的快速变化意味着大量不同频率的杂糅。~~（激激大大的）~~

一次冲激的时域图为什么脑袋尖尖的？因为时间极短，能量极大

代表的是时间上的“瞬间爆发”。它在图形上的极度瘦削，造就了它在频域上的极度宽广。这也解释了为什么现实中短路打火、雷击、甚至是数字电路里高速翻转的方波边缘，会产生极强的宽带无线电干扰——因为它们都太“尖”了，一“尖”就包含了所有频率。

在数学和物理上，它代表的是一个理想的瞬时冲激（Impulse），专业术语叫狄拉克δ函数（Dirac delta function）。

狄拉克δ函数（Dirac delta function）

是数学和信号处理中一个极其重要、但又非常“奇葩”的函数。它专门用来描述“瞬间爆发的冲击”。

你可以把它理解为“一瞬间的无穷大”

e.g 来第三个例子：方波在时域和频域中的图像

image 8.png

这个的频谱图同样也不太直观。我们可以看到频域中有一个强烈的尖峰恰好出现在方波的频率上，而随着频率的提高还会出现更多的尖峰。这是因为像上一个例子中所说，时域中的快速变化意味着杂糅的大量不同频率。它们以一定的间隔出现尖峰，而且强度会慢慢衰减（这个衰减过程会无限进行下去）。时域中的方波，在频域中呈现出 sin(x)/x 的形态（也就是所谓的 sinc 函数）。

e.g 第四个例子：一个恒定的时域信号

恒定的信号没有“频率”，在频域中，我们会在 0 Hz 位置看到一个峰值，这是由于即使“无”频率，频域也不会真正的“空白”。这种情况只会在没有信号存在的情况下出现，例如在时域中所有值都为 0。我们通常将频域中的 0 Hz 称为“直流（DC）”，这是由于它由时域中的直流信号（一个恒定且不变的信号）产生的。值得注意的是，当我们增加时域中直流信号的幅度时，频域中在 0 Hz 处的峰值也会相应地增加。

后面会详细讲解频谱图中纵坐标的具体含义。但现在，你可以把它看作是某种幅度，这个幅度反映了时域信号中某频率成分的强度。

傅里叶变换

数学上，傅里叶变换（Fourier Transform）是一种时域到频域的 “变换”，也是一种线性积分变换，可以将某些满足条件的函数分解成三角函数的线性组合或积分的线性组合，其定义如下：

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为信号 x(t) 我们可以使用下面的公式得到其频域版本 X(f) 。我们将以 x(t) 或 y(t) 来表示函数的时域版本，相应的以 X(f) 和 Y(f) 来表示其频域版本。注意 t 代表时间，而 f 代表频率。 j 是虚数单位，在高中数学课上有讲过用 i 来表示它。在工程和计算机科学中使用” j “，因为在这些领域中” i “通常指电流，并且在编程中常常作为循环变量使用。

要从频域返回到时域几乎是一样的，除了一个负号：

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许多教科书和其他资源使用 w 代替 2πf ，其中 w 是以弧度每秒为单位的角频率，而 f 是以 Hz 为单位。你只需要知道：

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即使它在许多方程中增加了一个 2π 项，在实际中我们更倾向于使用频率的 Hz 单位，因为在大多数 SDR 和射频信号处理应用中我们使用的都是 Hz 单位。

上述傅里叶变换的方程是连续形式，其实你只会在数学问题中看到它。离散形式的方程才更接近于它在代码中实现的形态：

image 20.png

注意到，其主要区别在于我们用求和替换了积分。指标 k 从 0 到 N-1。

如果这些方程对你来说没有多大意义，也没关系。实际上，我们不直接使用它们也可以用 DSP 和 SDR 做一些很酷的事情！为了雷达王朝。

【漫士】傅里叶变换，不过就是坐标分解而已

时间 - 频率性质

我们之前检查了信号在时域和频率域中的表现形式的例子。现在，我们将涵盖五个重要的“傅里叶性质”。

注意！这些性质告诉了一个什么样的事情呢：

如果我们对时域信号做 ____ ，那么 ____ 将发生在频域信号上。

1. 线性性质

image 5.png

如果我们在时间上加总两个信号，那么在频域中对应的也会是两个频域信号的加和。这也告诉我们：

如果我们将其中一个信号乘以一个缩放因子，频域中的表示也会相同比例地缩放。这个特性的实用性会在我们加总多个信号时变得更加明显。

所以通俗点讲：

时域相加 = 频域相加：你在时间轴上把两个波形叠在一起，就等于把它们各自的频谱图叠在一起。
乘个系数 = 等比例放大：你把时域信号的音量调大两倍，频域里的能量也刚好高两倍。

因为自然界是一个超级强的加法器，你在空气中说话，同时旁边有个人在敲鼓。这两路声波（电磁波）在空气中相遇，它们就是简单地相加。你的 SDR 天线接收到的信号，其实就是无数个不同频率、不同强度的正弦波（来自各个基站、WiFi、蓝牙、甚至宇宙背景辐射）线性叠加在一起的总和。

2. 频移性质

image 4.png

x(t) 左边的项我们称之为**“复数正弦波” **or "复数指数"。目前我们所需要知道的是，它本质上其实就是一个频率为f0的正弦波。这个属性告诉我们：

如果我们将一个信号 x(t) 与一个正弦波相乘，那么在频率域我们得到的是 X(f) ，只是频率偏移了一定的 f0 。

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频移的本质，就是把信号的频率中心，从一个位置“搬”到另一个位置。时域“乘”正弦，频域“移”位置：你把原来的信号，和这个不断旋转的正弦波乘在一起，就相当于给原信号的频谱施加了一个力，把它整体在频率轴上向左或向右平移了 f0 的距离。

频偏操作对于DSP应用来说是非常重要的，因为我们出于多种原因需要将信号在频率上进行上移或下移。这个性质告诉我们如何通过乘以一个正弦波去实现频偏操作。数学上来说，复数正弦波就是欧拉公式，在复平面上它是一个一直在旋转的指针。

另一种可视化这个性质的方法(用过simulink的其实看得懂)：

image 22.png

在工程上：

多径效应：你发出的无线电波，一条直接到接收机，另一条撞到墙上反射过来再被接收。接收机收到的是这两条路径信号的线性叠加。
傅里叶级数的基石：正因为有线性性质，我们才能把复杂的方波，拆解成基波 + 3次谐波 + 5次谐波去单独研究，然后再加起来。

3. 时域缩放性质

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即时频对偶性（Time-Frequency Duality）

在方程的左边，我们可以看到在时域中对我们的信号 x(t) 进行了缩放。这里有一个信号在时间上缩放的例子，我们看看频域上发生了什么变化：

image 11.png

时域上的缩放本质上是在 x 轴上缩小或扩展信号。这一属性告诉我们：

在时域上的缩放会导致在频域上的逆向缩放。

例如，当我们更快地传输比特流时，结果是使用了更大的带宽。这一属性有助于解释为什么更高数据率的信号会占用更多的带宽/频谱资源。时域越窄，频域越宽；时域越宽，频域越窄。

想象你在听一段录音，你把播放速度调成了 2倍速（a=2a=2，时域压缩）。

声音在时间轴上缩短了一半。
你的耳朵听到什么？声音变得尖锐、音调变高了。音调变高，在物理上就意味着频率翻倍了。

反过来，如果你用 0.5倍速（a=0.5a=0.5，时域拉伸）播放，声音会变得低沉、缓慢，因为频率被压缩变低了。

为什么重要？（SDR 的核心原理）

上变频与下变频（混频）：

你要发射信号，基带信号（比如你录的音频）频率很低，只有几千赫兹，天线根本发不出去（天线尺寸得几千米长）。你必须把它的频谱“搬家”到 2.4GHz 附近（WiFi频段），天线才能高效辐射。这叫上变频。
你在手机上接收信号，收到的是 2.4GHz 的极高频信号，但你的芯片（ADC）处理不了这么快的信号，必须把它“搬家”回到 0Hz 附近（基带）去处理。这叫下变频。

频分复用（FDM）：为什么那么多人同时用手机，互不干扰？因为运营商给每个人的信号分配了不同的频率（比如你占用 1.8GHz 搬家后的位置，他占用 1.9GHz 搬家后的位置）。大家互不干扰，这就是频移的功劳。

公式里还有一个参数 1/|a| ，它代表的是幅度（能量）的变化。当你把时间压缩时，信号被挤在更短的时间里，所以它的瞬时振幅通常会变大（面积不变原则），但在无线电通信中，我们最关心的是“带宽”（频率的展宽程度），幅度变高变低可以通过放大器（PA）来调整，所以我们通常忽略这个幅度因子，只看频率轴上的宽度变化。

所以如果你想让你的基站传输速度翻倍（时域压缩一半），你就必须占用两倍的频宽（频域拓宽一倍）。

但是有一个原理与工程上的区别

数学上的频移，是乘以“复正弦波”（只往一个方向搬）。但在现实物理电路中，我们没法直接产生复数信号，我们只能乘以实数正弦波 cos⁡(2πf0t)cos(2πf0t)。

根据积化和差公式：信号 ×cos⁡(2πf0t)×cos(2πf0t) = 一半向左搬，一半向右搬。

所以在频域图上，你如果用真实的物理电路做乘法，你会看到频谱同时向左和向右平移了一份（这被称为双边带调制）。这就是为什么你看通信原理的图，频谱往往是关于中心对称的。

为什么高数据率需要大带宽？

低速传输：假设每个比特占用的时间很长（比如 1 毫秒），波形很宽。这就相当于“时域很宽”。在频域里，它需要的频率范围就很窄（不需要太陡峭的边缘，低频正弦波就能cos）。
高速传输：如果我们把传输速度提高 100 倍，每个比特占用的时间就缩短到了 10 微秒。这就相当于在时域上把信号“压缩”了（a 变大了）。
频率上的代价：为了cosplay出这种“极短时间”内产生的剧烈跳变（方波边缘），你必须引入极其高频的正弦波来拼凑。因为时间越短，变化越剧烈，需要的“高频谐波”就越多。
结果就是：频域图上的波形被“拉宽”了。数据率越快，占用的频谱带宽就越大。

4. 时域卷积性质 and 频域卷积性质

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image 17.png

因为我们考察的是在时域中将 x(t) 与 y(t) 进行卷积后的性质，所以称之为卷积性质。

所以什么是卷积呢

我会在后面讨论滤波器的时候细致地说这个是个啥，所以这里姑且将它想象成一种互相关运算

积，就是一个冲激的猛烈程度（幅度）和系统对它的保留/衰减比例（权重）相乘，算的是现在这一时刻这个冲激对系统的影响；

卷，就是越早的冲激要对应越晚的影响，越晚的冲激对系统的影响越大，所以冲激发生的顺序和单次冲激影响的衰减的对应关系其实是“翻转”过来的，从当前时刻，时光倒流去看一个已经衰减至现在的冲激，这个冲激是在增大的，这就是翻转的由来。最后在当前时间上把所有冲激此时对系统的影响相加，得到此时系统内的影响总和。

加法：就像你把两杯水倒进同一个杯子里。水还是那些水，只是混合了。在频域图上，就是把两根谱线画在一起。
卷积：就像把面粉（信号）和酵母（系统冲激响应）揉在一起，烤成了面包。信号在卷积之后，它的形状、持续时间、频域结构发生了根本性的质变。这就是“滤波”：原本混杂着高频和低频的信号，经过“系统（滤波器）”的揉捏，变成了一个全新的、只留下特定频率的新波形。

时域卷积 = 频域相乘

image 6.png

(注：⊛ 代表卷积，× 代表相乘)

这在物理上意味着：你在时域里做极度复杂的卷积运算，等价于在频域里做极度简单的乘法。

举个例子

假设你正在用 SDR 听收音机，你的天线收到了：

你想要的电台（频率 100MHz）
隔壁老王的干扰信号（频率 105MHz）

你想把老王的声音掐掉，只留电台的声音。怎么办？

频域视角（最简单直接）：你画一个只允许 100MHz 通过的“矩形框”（这就是掩码/Mask）。把这个框和收到的信号频谱相乘。结果就是：100MHz 的留下了，105MHz 的乘以 0 变成了 0，干扰被完美抹除。
时域视角（现实物理世界）：你不可能直接跑进频域去画框，你只能在时域里处理。怎么弄？把收到的信号，和那个“矩形框”的时域表现形式（这就是滤波器的冲激响应，或者说“印章”）进行卷积。

为什么“不可能直接跑进频域去画框”？

假设你收到了一个混合信号（你要的 100MHz 电台 + 隔壁老王的 105MHz 干扰）。

如果是在数学作业里，你确实可以画个频域图，拿个橡皮擦把 105MHz 擦掉，留下 100MHz，然后再逆傅里叶变换变回来。

但在物理现实中，你的电路和软件没有“上帝视角”去直接擦除某个频率。

真实世界的硬件（比如天线、电阻、电容、放大器、ADC）和软件（代码里的加减乘除），全都只能针对“此刻的时间点”进行操作。时间一点点流逝，你只能一点点处理数据。你没法让时间暂停，跳到“频率轴”上去切割。

这条性质极其重要

因为计算卷积非常极其慢！如果信号有 100 万个采样点，直接做时域卷积，计算量是天文数字。但是，如果把它变到频域（用快速傅里叶变换 FFT），只需要做 100 万次乘法，这就是现代 5G、WiFi 为什么能跑那么快的原因之一，就是我们都在频域里做乘法。

频域卷积 = 时域相乘（反向操作）

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这个性质平时不太常用。但是如果你搞无线电（SDR、WiFi、5G），这个反向性质是我们的命根子，“频移（调制）”和“欧拉公式”，就属于它的一种体现：

我们之前说，时域里把信号乘以一个正弦波

在频域里就会发生“平移”。

时域相乘：比如你把基带信号 x(t)x(t) 乘以一个高频载波 cos⁡(2πfct)cos(2πfct)。

频域卷积：根据性质，这等价于把基带信号的频谱，和载波的频谱（两根冲激线）做卷积。
如果你用这条性质解释：信号×正弦波信号×正弦波，在频域里就是原信号频谱⊛正弦波的频谱原信号频谱⊛正弦波的频谱。而一个纯粹正弦波的频谱是一个 “δ冲激（一根线）”。
任何东西和 δ冲激做卷积，结果就只是把原信号平移到那个冲激的位置，这就是频移的底层数学逻辑。

工程师设计的 IQ 调制器（复混频器），其实就是用数字代码在时域里做乘法，从而在频域里完成极其精密的频谱切割和搬运。

这个性质为什么这么重要

考虑这样一种情况：你有一个想要接收的信号，而旁边就有一个干扰信号。

掩码（masking）在编程中的应用非常广泛，我们在这里就利用一下这个概念。如果我们能创建下面的掩码，并将其与上方的信号相乘，以便屏蔽我们不想要的信号。

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我们通常在时域进行 DSP 操作，那么我们利用时域卷积性质来看看如何在频域进行这种掩码。假设 x(t) 是我们接收到的信号。 Y(f) 是我们想要在频域应用的掩码，y(t) 是我们掩膜的时域表示，如果我们将它与 x(t) 进行卷积，我们就可以“过滤掉”我们不想要的信号。

所以...

“正弦波是物理世界的积木，傅里叶变换是图纸，而五大性质是拼装说明书。”

线性：告诉你积木可以随便加。
缩放：告诉你积木的大小与占用空间成反比。
频移：告诉你如何把不同颜色的积木搬到不同的楼层（频段）。
时域卷积：告诉你现实中怎么用带惯性/余波的物理设备去筛出想要的积木（滤波）。
频域卷积：告诉你如何把基带信号“附魔”（调制）到高频载波上发射出去。

你在时域做加法，频域也就做加法。你在时域挤压时间，频域就会拉开频率（缩放）。你在时域乘正弦波，频域就平移（频移）。你在时域做卷积（滤镜），频域就做乘法。你在频域做卷积（涂抹），时域就做乘法（调制）。

线性（相加）：物理世界的大杂烩。所有的信号（你要的、干扰的）在空气中简单加在一起，互不干扰。
时频缩放：鱼与熊掌不可兼得。你发得快（时域挤），就占频带宽（频域拉伸）。
频移（时域乘正弦）：坐电梯。把信号搬到更高的楼层（频率），或者降下来。
时域卷积（物理滤波）：拿着印章（冲激响应），在时间轴上滑过去。过去的历史余波叠加，把不要的信号“抹平”。
频域卷积（通信调制）：数学魔法。把信号的频谱像和面一样，擀到不同的频率位置上。

（感觉不止一章）

[1]

部分搬运而来，可以详细地看这个